[Pre-algrebra] 지수, 근호, 유효숫자 표기법

[Pre-algrebra] 지수, 근호, 유효숫자 표기법

지수 exponents

• 어떤 수의 제곱은 1에서부터 시작하여 위에 있는 숫자만큼 곱해주는 것이다.
• 따라서 0을 제외한 어떤 수의 0의 제곱은 1이다.
  • x⁰ = 1

2⁰ = 1 인 이유

• 2³ -> 1·2·2·2 = 8
• 2² -> 1·2·2 = 4
• 2¹ -> 1·2 = 2
• 2⁰ = 1

-1의 제곱

• -1⁰ = 1
• -1¹ -> 1·-1 = -1
• -1² -> 1·-1·-1 = 1
• -1³ -> 1·-1·-1 = -1
• -1⁴ -> 1·-1·-1·-1·-1 = 1
• 음수는 홀수의 제곱은 홀수 양수의 제곱은 양수가 나온다.

0⁰

• undefined

소수의 지수

• 0.2³ -> 1·0.2·0.2·0.2 = 0.008

지수를 포함한 변수로 이루어진 식

• 5ⁿ - 3ⁿ for n=2
  • 25 - 9 = 16
• y² - x⁴ when y=9 and x=2
  • 81 - 16 = 65

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제곱근 square root [JS: Math.sqrt()]

• x² = 9 -> x는 3 or -3
• √9 = x -> x는 오직 3
• ±√9 = x -> x는 3 or -3

소수 셋째 자리에서 반올림하여 제곱근의 근삿값 나타내기

• √45는 √36(6)보다 크고 √49(7)보다 작다.
• 6.71·6.71 = 45.0241

제곱근 간단히 하기

• 5√117
  • 117 인수 분해: 1+1+7 = 9 -> 117은 3으로 나눠지는 수
  • 5√(3·3·13) -> 5·3·√13 = 15√13
• 3√26
  • 26은 인수분해해서 제곱을 만들 것이 없음 = 3√26
• √450
  • 450 인수 분해: 2·25·9
  • √2·15

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세제곱근 cube root (고등 수Ⅱ)

## 세제곱근의 기원

• 제곱근 구하는 것은 정사각형(square) 넓이가 있을 때 한변의 길이를 구하는데서 출발함
  • 넓이가 49인 정사각형의 한변의 길이는 √49 -> 7
• 세제곱근 구하는 것은 정육면체 넓이가 있을 때 한변의 길이를 구하는데서 출발함
  • 넓이가 27인 정육면체(cube)의 한변의 길이는 ³√27 -> 3
• ³√-64
  • 허수를 알기 전에 근호 안의 수가 음수일 경우는 정의할 수 없다
  • 일단 구해보면 -64를 인수분해하면 -> -4·-4·-4
  • ³√-64 = -4

완전세제곱이 아닌 수의 세제곱근

• ³√3430
  • 3430 소인수분해 -> 2·5·7·7·7 -> ³√10·7 = 7³√10

세제곱근 간단히 하기

• ³√-343
  • ³√-1·³√(7·7·7) = -7

예제: 음수의 세제곱근

• ³√-512
  • -1·³√(8·8·8) = -8

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지수법칙

곱셈에서의 지수법칙

• x^a·x^b = x^a+b
• (xy)^a = x^a·y^a
• (x^a)^b = x^a·b
• (2xy^2)(-1x^2y)^2(3x^2y^2)
  • 2·3·x·x^4·x^2·y^2·y^2·y^2
  • 6x^7y^6
• 0이 아닌 어떤 수에 0 제곱(power)은 1이다.

power	0	1	2	3
3	1	3	9	27

괄호가 있는 지수법칙

• 괄호 안의 수에 지수를 제곱해준 결과와 같다
  • (ab)^4 = (ab)(ab)(ab)(ab) = a^4·b^4
• 어떤 수의 제곱을 하고 또다시 몇제곱을 하면 그 값의 지수는 두 지수의 곱이다.
  • (a^b)^c -> a^(b·c) = a^(bc)
  • (a^3)^2 -> a^3·a^3 -> a^(3+3) = a^6

나눗셈에서의 지수법칙

• 어떤 수의 음의 제곱을 하면 어떤수 제곱분의 1이랑 같다
  • a^-b = 1/a^b
  • 5^6/5^2 -> 5^(6-2) = 5^4
  • (3^4)/(3^10) -> 1/3^6 = 3^-6

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음의 지수 (고등 수Ⅱ)

• 거듭제곱의 지수가 음수이면, 지수의 부호가 양수인 거듭제곱의 역수와 같다.

  • x^-n=1/x^n

음의 지수 살펴보기

• x^n / x^m = x^(n-m)
• 2^2 / 2^3 = 2^-1

지수의 곱셈 & 나눗셈 (정수인 지수)

• (5^3·5^2)^4
• (5^(3+2))^4 -> (5^5)^4
• 5^20

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유효숫자 표기법(scientific notation)

• 어떤 수가 111부터 999 까지의 수와 10의 거듭제곱의 곱으로 나타나 있는 것
• 과학에서는 아주 큰수나 작은수를 다루기때문에 사용하는 표기법
• 양수를 유효숫자로 나타낼때
  • 소수점을 왼쪽으로 옮겨서 1에서 10 사이의 값이 되도록 만든다.
  • 소수점을 몇 자리 이동했는지 센 뒤, 그 수를 10의 지수로 사용.
  • 소수점을 옮긴 수와 10의 거듭제곱의 곱셈 형태로 표현한다.
    • 604000 = 6.04·10^5
• 음수를 유효숫자로 나타낼때
  • 소수점 뒤에부터 0이 아닌 수가 나올때까지 자릿수(포함)까지 세서 음의지수로 곱한다.
    • 0.005 = 5·10^-3

10의 거듭제곱(Multiplying multiples of powers of 10)

유효숫자 표기법으로 나타낸 수의 곱셈과 나눗셈

• 변환한 숫자로 곱셈을 계산하면 쉽게 계산할 수 있다.
  • 0.005 · 0.0008
  • 5·10^-3 · 8·10^-4 = 40·10^-7
• 소수점은 먼저 변환하고 연산한다.
  • (1.3×10^−2)×(0.05)
  • 6.5.10^-4