[Algebra basics] 이차식과_다항식

[Algebra basics]

다항식의 덧셈과 뺄셈

• 지수가 같은 값끼리 연산해서 정렬해서 쓰기

이항식의 곱셈

• 단항식과 다항식을 곱할 때에는 분배법칙 사용

• 지수끼리 곱해주는것은 지수의 덧셈이라는 것을 기억할 것

  • x² · x² = x⁴

• 두개의 이항식으로 표현하는 방법과 하나의 삼항식으로 표현하는 방법

• (3x + 2)(5x - 7) 푸는 방법 2가지

• 1.FOIL(First Outside Inside Last) 방법 사용

  • First : 첫항끼리 곱 3x·5x
  • Outside: 바깥쪽항끼리 곱 3x·-7
  • Inside : 안쪽항끼리 곱 2·5x
  • Last : 마지막항끼리 곱 2·-7
  • 3x·5x + 3x·-7 + 2·5x + 2·-7

• 2.분배법칙(이것만 기억하면 됨)

  • 3x(5x-7) + 2(5x-7)
  • 3x·5x + 3x·-7 + 2·5x + 2·-7 (결국 위와 같아짐)

• 답은 둘다 15x²-11x-14

특정한 형태의 이항식의 곱셈

• (x+a)(x-a) 꼴의 곱셈

  • a가 어떤 값이든 ax-ax로 소거됨
  • 답은 항상 x² - a² 형태

• (x+a)² 꼴의 이항식의 곱셈

  • (x+a)(x+a) -> x² + 2ax + b²
  • (x-3)²
    • x²-6x+9

공통 인수로 다항식 인수분해하기

• 다항식을 인수분해하는 것은 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것이다.
• 먼저 최대공약수(GCF)부터 구해서 상수를 추출한다.
• 중복되는 미지수항을 추출한다.
• 6x³+8x²−4x = 2x(3x²+4x-2)

다항식의 인수분해: 공통인수와 넓이

다항식의 인수분해: 이항식인 공통인수

• 괄호안의 값이 같다면 결국 곱과 같음
• n(n-1) + 3(n-1) = (n-1)(n+3)

이차식의 인수분해 1

• 이차식을 인수분해 하여 (x+a)(x+b)의 꼴로 나타내기
  • 최고차항의 계수가 1인 이차방정식의 인수분해
  • x² + bx + c
    • x² + (m+n)x + m·n과
    • b=m+n c=m·n 를 만족할때
    • (x+m)(x+n)으로 인수분해 가능

이차식의 인수분해 2

최고차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식의 인수분해

• fhX = fjX +ghX + gj

  • 그림을 보면 x²항의 상수 4와 -21을 곱하면 -84가 나온다.
  • X항의 상수 25는 -84를 인수분해 한 수의 합이여야 한다.
  • -3과 28은 합은 25이며 곱은 -84이므로 이 조건에 일치한다.
  • 25x는 28x와 -3x로 나눌수 있으며 공통항을 추출해내면 끝.

• ax² + bx = c

  • 곱하면 ac이고 더하면 b가 되는 두 수를 찾는다.
  • 두수를 이용하여 x항을 분할한다.
  • 이차식을 묶어서 인수분해 한다.

• 3x² + 10x + 8

  • 6, 4 곱하면 24(3·8) 더하면 10이므로 일치
  • 3x² + 6x + 4x + 8
  • 3x(x+2) + 4(x+2)
  • (3x+4)(x+2)

이차식의 인수분해: 제곱의 차

• 제곱의 차 형식으로 나타낼 수 있는 모든 다항식은 아래 공식을 적용해서 인수분해가 가능하다.
  • a²-b² = (a+b)(a-b)

• 처음 상수의 형태가 제곱 형태로 표현이 불가능한 경우
  • 먼저 공통의 상수를 추출했을때 상수부분이 제곱으로 표현이 가능하다면 (a+b)(a-b) 형태로 변경할 수 있다.

• 공통상수를 빼던 제곱 형태로 처리하던 값은 같다.

• 인수분해를 하면 두개의 식의 공통인수를 추출해 낼수 있다.

이차식의 인수분해: 완전제곱식

완전제곱식을 이용한 인수분해

• 완전제곱식의 이항식을 전개할 때는 다음 공식을 따른다.
  • (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • (a-b)² = a² - 2ab + b²

완전제곱식을 이용한 인수분해: 공통인수

• (Ax+B)² = (Ax)² + 2ABx + B²
  • 16x³ + 24x² + 9x
  • x(16x² + 24x + 9)
  • x(4x² + 2·4·3x + 3²)
  • x(4x+3)²

완전제곱식을 이용한 인수분해: 음의 공통인수

• (a+b)² = a² + 2ab + b²
  • -4t² - 12t - 9
  • -1(4t² + 12t + 9)
  • -1(2t + 3)²

인수분해 방법 복습

• 질문 1: 공통인수가 존재하는가?
  • 공통인수를 밖으로 묶어 빼낸다.
• 질문 2: 식이 제곱의 차로 표현되었나? ex) x² - 16
  • a²-b² = (a+b)(a-b) 이용
• 질문 3: 식이 완전제곱식인가? ex) x² - 10x + 25
  • a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 이용
• 질문 4:
  • a) x² + bx + c 꼴의 표현이 존재하면 b)로 이동.
  • b) 합이 b 가 되고 곱이 c 가 되는 인수들이 존재하나요?
    • 맞으면 합과 곱을 이용해서 인수분해. 아니라면 더 이상 인수분해 불가
• 질문 5: 합이 b가 되는 ac의 인수들이 존재하는가?

인수분해를 이용하여 이차방정식 풀기